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La reduction de jordan


Une solution du système est.
Soit Ei les q sous-espaces Ker(u-i)ri.De plus, deux matrices cas concret concours infirmier pour aide soignant avec corrigés représentant u de la forme précédente sont égales, à l'ordre des matrices de Jordan près.On voit de cette manière l'intérêt calculatoire de cette méthode.La réduction consiste à déterminer une décomposition de Dunford, c'est-à-dire à trouver un endomorphisme diagonalisable et un endomorphisme nilpotent tels que les deux commutent et que leur somme soit égale à l'endomorphisme initial puis, sur chaque sous-espace caractéristique, on effectue une réduction de Jordan.Considérons alors une base de E formée d'une réunion de bases des Ei pour lesquelles chaque endomorphisme nilpotent ui- i a une matrice réduite.On appelle bloc de Jordan une matrice carrée de taille k (à coefficients dans le corps K ) de la forme 1 : J k ( ) ( 1 1 ( 0 ) ( 0 ) 1 ).Posons Ei Ker (u-i)ri pour 1iq Dans ces conditions: E E1E2.Eq Chaque Ei est de dimension ri La démonstration utilise un résultat d'algèbre non démontré ici, mais dont on pourra trouver un analogue dans le modules 'Nombres' (chapitre 'Entiers Relatifs.Nous allons d'abord définir les 'matrices de Jordan' qui sont des matrices bandes morphologiquement très voisines des matrices diagonales, puis nous montrerons que dans les conditions ci-dessus, relativement à une base bien choisie, toute matrice peut être décomposée en 'blocs de Jordan'.Début dun théorème, fin du théorème, l'objectif de ce paragraphe est d'énoncer et de démontrer le théorème de Jordan, en dimension finie.Ces résultats sont démontrés dans l'article «Décomposition de Dunford».Camille Jordan - Image:eg, matrices de Jordan, ce sont les matrices de la forme: 1.Signaler une erreur, une faute d'orthographe.Si u displaystyle u est nilpotent d'indice p displaystyle p, son polynôme minimal est X p displaystyle.Supposons, par exemple, que la matrice de u1-1 soit : Cette matrice peut être récrite: U1 0 0 0 U2 0 0 0 U3 avec: U1 U2 U (0) La matrice de la restriction de u à E1 sera donc: V1 0 0.Wq(vq(x) x E Cela dit on a d'après le théorème de Hamilton-Cayley pu(u)fi(u)gi(u)ui o vi0 Donc à plus forte raison wi o ui o vi ui o wi o vi0 Ce qui prouve que pour tout x wi(vi(x) Ei donc que tout vecteur x peut.





On étudie une valeur propre particulière de l'endomorphisme.
La multiplicité géométrique de (dimension du sous-espace propre associé) est égale au nombre des blocs.

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